Question

已知a₁=3且a_n=S_n-1+2ⁿ，则a_n=

（n+2）×2^n-1

；S_n=

（n+1）×2ⁿ

．

Answer 1

分析：由a₁=3，a_n=S_n-1+2ⁿ，知a_n-a_n-1=（S_n-1+2ⁿ）-（S_n-2+2^n-1）=a_n-1+2^n-1，所以a_n=2a_n-1+2^n-1，a_n+1=2（a_n+2ⁿ）=2（2a_n-1+2^n-1）+2ⁿ=2²a_n-1+2×2ⁿ=2²（2a_n-2+2^n-2）+2×2ⁿ=2³a_n-2+3×2ⁿ=…=2ⁿ•a₁+n×2ⁿ=（n+3）×2ⁿ，由此能求出a_n和S_n．

解答：解：∵a₁=3，a_n=S_n-1+2ⁿ，
∴a_n-a_n-1=（S_n-1+2ⁿ）-（S_n-2+2^n-1）
=a_n-1+2^n-1，
即a_n=2a_n-1+2^n-1，
a_n+1=2（a_n+2ⁿ）=2（2a_n-1+2^n-1）+2ⁿ
=2²a_n-1+2×2ⁿ
=2²（2a_n-2+2^n-2）+2×2ⁿ
=2³a_n-2+3×2ⁿ
=…
=2ⁿ•a₁+n×2ⁿ
=（n+3）×2ⁿ，
∴a_n=（n+2）×2^n-1．
∵a_n=S_n-1+2ⁿ，
∴S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹
=（n+3）×2ⁿ-2ⁿ⁺¹
=（n+1）×2ⁿ．
故答案为：（n+2）×2^n-1，（n+1）×2ⁿ．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．