Question

【题目】已知函数，曲线在处的切线经过点.

（1）求实数的值；

（2）证明:在单调递增，在单调递减；

（3）设，求在上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）证明见解析（3）-1，

【解析】

（1）先求得导函数，根据在处的切线经过点，代入导函数即可求得的值；

（2）将代入导函数可得，即可分别判断当和时导函数的符号，即可证明函数在各自区间上的单调性.

（3）根据，由不等式性质可知。结合（2）中函数的单调性，即可确定最大值；令，求得导函数，即可由的范围证明的单调性，从而求得的最小值.

（1）函数

则定义域为，.

由题设，

解得.

（2）证明：由（1）可知

代入导函数解析式可得.

当时，，

时，.

即在单调递增，在单调递减.

（3）因为，由（2）知在上的最大值为.

设，

.

因为，所以，在上单调递增.

所以，

故.

所以在上的最小值为.