题目内容

如右图,A、B分别是椭圆的上、下两顶点,P是双曲线

上在第一象限内的一点,直线PA、PB分别交椭圆于C、D点,如果D恰

是PB 的中点.

   (1)求证:无论常数a、b如何,直线CD的斜率恒为定值;

   (2)求双曲线的离心率,使CD通过椭圆的上焦点.

(2)


解析:

(1)设P点坐标为,又A、B坐标分别是

而D是PB的中点,∴D点坐标为,……………………2分

把D点坐标代入椭圆方程,得:      ①

   ②

由①②解得,舍去)

点坐标为………………………………5分

,直线PA的方程是联立,解得

C点坐标为,又D点坐标为……………………7分

∴C、D两点关于y轴对称,故无论ab如何变化,都有CD//x轴,直线CD的斜率恒

为常常0.……………………9分

(2)当CD过椭圆焦点时,则,……10分

双曲线中,

∴双曲线的离心率.………………………………12分

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