Question

(2005全国Ⅱ，20)如下图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAB；

(2)设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)证明：如下图，连结EP，∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内．∴PD⊥DE．又CE=ED，PD=AD=BC．∴Rt△BCE≌Rt△PDE．∴PE=BE． ∵F为PB中点． ∴EF⊥PB． 由垂线定理得PA⊥AB． ∴在Rt△PAB中PF=AF， 又PE=BE=EA． ∴△EFP≌△EFA． ∴EF⊥FA． ∵PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB． (2)不妨设BC=1，则AD=PD=1，AB=，PA=，AC=． ∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，F为其斜边中点，BF=1．且AF⊥PB． ∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直， ∴PB⊥平面AEF． 连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．∠GAH为AC与平面AEF所成的角． 由△EGC∽△BGA可知 ，，． 由△EGH∽△EBF可知． ∴． ∴AC与面AEF所成的角为arcsin．

提示：

剖析：本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力．考查应用向量知识解决数学问题的能力．