Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF．
（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AB⊥平面BCE；
（Ⅲ）求三棱锥C-ADE的体积．

Answer 1

分析：（I）由已知可易AF∥BE，DF∥CE，结合线面平行的判定定理，我们易得AF∥面BCE，DF∥面BCE，再由面面平行的判定定理，可得面ADF∥面BCE，最后根据面面平行的性质得到AD∥平面BCE；
（Ⅱ）由已知中EF∥AB，AB⊥AD，得EF⊥AD，又由CE⊥EF，结合（1）中结论，及面面垂直的性质，我们易判断出CE⊥平面ABFE，再由线面垂直的性质得到CE⊥AB，再由AB⊥BE，即可得到AB⊥平面BCE；
（Ⅲ）由（2）中结论，我们易判断AF为三棱锥A-CDE的高，求出AF的长，及底面三角形CDE的面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）由题意知AF∥BE，∴AF∥面BCE，同理，∵DF∥CE，
∴DF∥面BCE．AF∩DF=F，AF?面ADF，DF?面ADF，∴面ADF∥面BCE．
∵AD?面ADF，∴AD∥面BCE．（4分）
（Ⅱ）在图甲中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，∴在图乙中CE⊥EF．
∵平面CDEF⊥平面ABFE，平面CDEF∩平面ABFE=EF∴CE⊥平面ABFE，
∴CE⊥AB，又AB⊥BE，∴AB⊥平面BCE．（8分）
（Ⅲ）∵平面CDEF⊥平面ABFE，AF⊥EF，∴AF⊥平面CDEF，（10分）
AF为三棱锥A-CDE的高，且AF=1，又AB=CE=2，
∴S△CDE=

1

2

×2×2=2，∴VC-ADE=VA-CDE=

1

3

×2×1=

2

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平等的判断，棱锥的体积及直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面的位置关系的判定、性质及定义，建立良好的空间想像能力是解答立体几何问题的关键．