Question

从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组，求在下列条件下各有多少种不同的选法？
（1）选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选；
（2）至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选．

Answer 1

分析：（1）选2名男生必须从4名男生中选取，利用组合的知识可知有

C

2 4

种选法；选取女生时，对于女生甲优先考虑，先把甲选上，只有一种方法，再从剩下的4名女生中选取2人，可有

C

2 4

种方法，利用乘法原理即可得出答案；
（2）通过分类讨论，特殊元素优先考虑，利用加法原理和乘法原理即可得出．

解答：解：（1）从9人中任选5人，其中选2名男生有

C

2 4

种选法，3名女生且女生甲必须入选可以这样选：先把甲选上，有

C

1 1

种选法，再从剩下的4名女生中选2人的方法有

C

2 4

种，根据乘法原理可知选女生的方法共有

C

1 1

C

2 4

种方法．
由乘法原理可得：选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选的方法为

C

2 4

C

1 1

C

2 4

=36种．
（2）分为以下4类：
①选4名男生和除了女生乙以外的1名女生可有

C

4 4

C

1 4

=4；
②选3名男生和2名女生分为：男生甲被选上女生乙不被选上，男生甲不被选上女生乙被选上，男生甲、女生乙都不被选上，共有

C

1 1

C

2 3

C

2 4

+

C

3 3

C

1 1

C

1 4

+

C

3 3

C

2 4

=28；
③选2名男生和3名女生分为：男生甲被选上女生乙不被选上，男生甲不被选上女生乙被选上，男生甲、女生乙都不被选上，共有

C

1 1

C

1 3

C

3 4

+

C

2 3

C

1 1

C

2 4

+

C

2 3

C

3 4

=42；
④选1名男生和4名女生分为：男生甲被选上女生乙不被选上，男生甲不被选上女生乙被选上，男生甲、女生乙都不被选上，共有

C

1 1

C

4 4

+

C

1 3

C

1 1

C

3 4

+

C

1 3

C

4 4

=16．
由分类加法原理可知：至多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方法共有4+28+42+16=90种．

点评：熟练掌握分类加法原理和分步乘法原理及特殊元素优先考虑的原则是解题的关键．