Question

下列命题错误的是（ ）
A．若四面体的两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直
B．若三棱锥的三侧棱两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心
C．若△ABC所在平面外一点到三顶点的距离相等，则该点在平面ABC内的射影是△ABC的外心
D．若△ABC所在平面外一点P到△ABC三边的距离相等，则P在平面ABC内的射影是△ABC的内心

Answer 1

【答案】分析：对于A命题可转化为如图四面体ABCD，若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．后利用几何向量法可判断A，对于B命题转化为在三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，点A在平面BCD的射影为H，则点H为△BCD的垂心．然后由线面垂直的性质定理可判断B，利用勾股定理和外心、内心的定义可判断C、D．
解答：解：A 该命题可转化为如图四面体ABCD，若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．
∵AB⊥CD，∴，同理
∴=
=即BC⊥AD，所以该命题正确．
B该命题转化为在三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，点A在平面BCD的射影为H，则点H为△BCD的垂心．
∵BA⊥AC，BA⊥AD，∴BA⊥面ACD，又CD?面ACD，∴BA⊥CD，由三垂线定理及逆定理可知BH⊥CD．
同理  CH⊥BD，DH⊥BC  即点H是△BCD的垂心，所以该命题正确．
C  由题得该点在平面ABC内的射影到到三顶点的距离相等，即为△ABC的外心，所以该命题正确．
D  由题得该点在平面ABC内的射影到到三边的距离相等，而到三角形三边距离相等的点是三角形的内心或是旁心．所以该命题不正确．
故选D．
点评：此题考查是三角形五心的概念及线线垂直判断，第四个命题的判断是学生的难点，因为旁心和内心都符合到三角形三边距离相等的条件，而在我们的教学过程中只注重内心问题．