题目内容

有一同学在研究方程x3+x2-1=0的实数解的个数时发现,将方程等价转换为后,方程的解可视为函数y=x2的图象与函数的图象交点的横坐标.结合该同学的解题启示,方程的解的个数为    个.
【答案】分析:先将方程等价转化,注意函数的定义域:[1,+∞),1,构造新函数 g(x)=,考查其零点区间,进而利用导数法求解.
解答:解:由题意,x≠0时,方程,可化为
定义域:[1,+∞),1,
设 g(x)=,故 x>2时,g(x)>0;
x=2 时,g(2)=1;g(1)=-1,故实数解仅在(1,2)内获得;
在(1,2)内,g(x)=,g'(x)=>0,(两部分全是正的)得到g(x)只有一个零点,即方程的实数解仅有一个
当x=0时,方程成立
故答案为2
点评:本题的考点是类比推理,主要考查方程解的个数,由于是超越方程,利用了函数的单调性求解,关键是问题的等价转化.
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