题目内容

已知α,β≠
π
2
+kπ(k∈Z)且sinα是sinθ、cosθ的等差中项,sinβ是sinθ、cosθ的等比中项.求证:
1-tan2α
1+tan2α
=
1-tan2β
2(1+tan2β)
分析:所证明的式子中不含角θ,因此先由已知,考虑将θ作为桥梁,沟通α,β,得出4sin2α-2sin2β=1.再将所证明的式子切函数化成弦函数,等价变形,与上式一致即可..
解答:证明:由题意,sinθ+cosθ=2sinα ①,sinθ•cosθ=sin2β ②,…(2分)
2-2×②消去θ得4sin2α-2sin2β=1③.…(5分)
另一方面,要证
1-tan2α
1+tan2α
=
1-tan2β
2(1+tan2β)
,即证
1-
sin2α
cos2α
1+
sin2α
cos2α
=
1-
sin2β
cos2β
2(1+
sin2β
cos2β
)
 …(7分)
即证cos2α-sin2α=
1
2
(cos2β-sin2β)           …(9分)
即证1-2sin2α=
1
2
(1-2sin2β)           …(11分)
亦即证4sin2α-2sin2β=1,而此式在③已证,故原等式成立.…(13分)
点评:本题考查三角函数恒等式的证明,要求灵活运用同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值,具有减元,切化弦的意识和方法.
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