Question

如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是 ________．

Answer 1

分析：先利用换元法将函数化成一元二次函数，然后将a与1进行比较，分别研究，利用符合函数的单调性的知识进行建立关系式求解即可．
解答：令a^x=t则f（x）=a^x（a^x-3a²-1）可转化成
y=t²-（3a²+1）t，其对称轴为＞0
当a＞1时，t＞1，要使函数y=t²-（3a²+1）t在（1，+∞）上是增函数
则＜1，故不存在a使之成立；
当0＜a＜1时，0＜t＜1，要使函数y=t²-（3a²+1）t在（0，1）上是减函数
则＞1，故
综上所述，
故答案为：．
点评：本题主要考查了复合函数单调性的应用，以及换元法的运用，在高考中关于复合函数的单调性有所弱化，属于基础题．