Question

用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

Answer 1

解:设长方体的宽为x m,则长为2x m,高为h==(4.5-3x)(m)(0＜x＜).

故长方体的体积为V(x)=2x²(4.5-3x)=9x²-6x³(m³)(0＜x＜).从而V′(x)=18x-18x²=18x(1-x).

令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.当0＜x＜1时,V′(x)＞0;

当1＜x＜时,V′(x)＜0.故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.

从而最大体积V=V(1)=9×1²-6×1³=3(m³),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.

答:当长方体的长为2 m,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m³.