题目内容
已知椭圆的离心率为,过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设的右焦点为,在圆上是否存在点,满足,若存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
(1);(2)圆上存在两个不同点,满足..
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力,考查学生的数形结合思想.第一问,利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标,再结合离心率,得到椭圆的标准方程;第二问,利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离,由已知弦长为,则由垂径定理得到圆的半径,从而得到圆的标准方程,利用两点间的距离公式得到和,代入已知中,得到P点的轨迹方程为圆,利用两个圆的位置关系判断两个圆相交,所以存在点P.
因为直线的方程为,
令,得,即 1分
∴ ,又∵,
∴ ,
∴椭圆的方程为. 4分
(2)∵圆心到直线的距离为,
又直线被圆截得的弦长为,
∴由垂径定理得,
故圆的方程为. 8分
设圆上存在点,满足即,
且的坐标为,
则,整理得,它表示圆心在,半径是的圆。
∴ 12分
故有,即圆与圆相交,有两个公共点。
∴圆上存在两个不同点,满足. 14分
考点:椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系.
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