Question

关于自然数2160，回答下列问题：

(1)它有多少个不同的正因数?

(2)它的所有正因数的和等于多少?

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵2160＝24×33×5， ∴2160的正因数的通式为p＝2a·3b·5c，其中a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3)，c∈{0，1}，于是，要得到一个确定的因数必须而且只需确定幂指数a、b、c的值，这可以分三个步骤完成：第一步确定a的值有5种；第二步确定b的值有4种；第三步确定c的值有2种． 又因为确定了一组a、b、c的值，就确定了唯一的一个因数，而不同的值(即a、b、c中至少有一个不同)，对应不同的因数，所以2160的正因数个数为5×4×2＝40个． (2)因为分别计算40个正因数的值，再把它们相加比较繁杂，所以将它们用分组分解法进行因式分解以便简化计算，又因为每个因数都是三种不同底数幂的乘积，所以考查式子： (1＋2＋22＋23＋24)(1＋3＋32＋33)(1＋5)． 将其展开有40项，每一项就是2160的一个正因数，不同的项是不同的正因数．于是 =（1＋2＋22＋23＋24）（1＋3＋32＋33）（1＋5）=31×40×6=7400． 答：2160有40个正因数；它们的和为7440． 点评：善于联想找到等价命题是解决本题的关键，而第一问勿忘指数为0的情况．