题目内容

若f（x）=x2-x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1），
（1）求f（log2x）的最小值及相应 x的值；
（2）若f（log2x）＞f（1）且log2f（x）＜f（1），求由x的值组成的集合．
分析：（1）由题意，先由f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1），解出a，b的值，得到f（x）的解析式，再由f（log2x）的形式选择配方法求得它的最小值及相应的x的值；
（2）由题意f（log2x）＞f（1）且log2f（x）＜f（1），解此两不等式即可得到x的值组成的集合．
解答：解：（1）由题意f（x）=x2-x+b
∴f（log2a）=（log2a）2-log2a+b=b
解得log2a=1，即可得a=2
又log2f（a）=2，得f（a）=4
∴a2-a+b=4，将a=2代入，解得b=2
∴f（x）=x2-x+2
∴f（log2x）=（log2x）2-log2x+2=（log2x-
1
2
）2+
7
4

∴当log2x=
1
2
，即x=
2
时，f（log2x）的最小值是
7
4

答：f（log2x）的最小值是
7
4
，相应 x的值x=
2

（2）由题意知
(log2x)2-log2x+2＞2
log2(x2-x+2)＜2

∴
log2x＜0或log2x＞1
0＜x2-x+2＜4

∴
0＜x＜1或x＞2
-1＜x＜2

∴0＜x＜1
答：由x的值组成的集合是（0，1）
点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查了对数方程的解法，对数不等式的解法及与对数有关的复合函数的最值的求法，涉及到的基本技能较多，解题的关键是熟练掌握对数的单调性及对数的运算，将方程与不等式正确转化求解，属于对数函数有关的综合性较强的题
练习册系列答案
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已知x＞
12
，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；
（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=-4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．
f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．现给出下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=x2+1；
③f(x)=
2
(sinx+cosx)；
④f(x)=
x
x2-x+1
；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是F函数的函数有
①④⑤
①④⑤
．
已知x＞
1
2
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