题目内容

若非零不共线向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 满足| $数学公式$ - $数学公式$ |=| $数学公式$ |，则下列结论正确的个数是________．
①向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 的夹角恒为锐角； ②2| $数学公式$ |²＞ $数学公式$ • $数学公式$ ； ③|2 $数学公式$ |＞| $数学公式$ -2 $数学公式$ |； ④|2 $数学公式$ |＜|2 $数学公式$ - $数学公式$ |．

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分析：对于①，利用已知条件，推出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可．
对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误．对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误．
对于④，|2 $\text{[math]}$ |＜|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |等价于 4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜| $\text{[math]}$ |，不一定成立，说明正误即可．
解答：∵非零不共线向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，∴向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 组成的三角形是等腰三角形，
且向量 $\text{[math]}$ 为底边，故向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角恒为锐角，①正确．
②2| $\text{[math]}$ |²＞ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 等价于2| $\text{[math]}$ |²＞| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，等价于2| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |•cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞．
而由| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |可得| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |•cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，即 2| $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ |•cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞成立，
故②正确．
③|2 $\text{[math]}$ |＞| $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ |等价于 4 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ ，等价于 4 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
等价于 4| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞ $\text{[math]}$ ，等价于 4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞| $\text{[math]}$ |．
而 2| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=| $\text{[math]}$ |，∴4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞| $\text{[math]}$ |成立，故正确．
④|2 $\text{[math]}$ |＜|2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |等价于 4 $\text{[math]}$ ＜4 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，等价于 4 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
等价于 4| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜| $\text{[math]}$ |，不一定成立，所以④不正确．
故答案为 3．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，属于中档题．

若非零不共线向量、满足|-|=||，则下列结论正确的个数是________．①向量、的夹角恒为锐角； ②2||2＞•； ③|2|＞|-2|； ④|2|＜|2-|．

若非零不共线向量、满足|-|=||，则下列结论正确的个数是①向量、的夹角恒为锐角；②2||2＞•；③|2|＞|-2|；④|2|＜|2-|．

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