题目内容

椭圆C： $数学公式$ 的两个焦点F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是椭圆C上一点，且满足 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，则3MF₁•MF₂=4a²-4c² $\text{[math]}$ ，当且仅当MF₁=MF₂=a时，取等号
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
（2）令OP=m，则m∈[b，a]
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF₁²与PF₂²两式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
则（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴ $\text{[math]}$
∵m∈[b，a]，∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，
∴t的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在△MF₁F₂中，根据余弦定理得4a²-3MF₁•MF₂=4c²，则3MF₁•MF₂=4a²-4c²结合基本不等式即可求得，当且仅当MF₁=MF₂=a时，a²≤4c²从而求椭圆的离心率e的取值范围．
（2）令OP=m，结合椭圆的定义由余弦定理可得（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²），得到 $\text{[math]}$ 最后利用放缩法即可求得t的取值范围是．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．