题目内容
椭圆C:
的两个焦点F1(-c,0)、F2(c,0),M是椭圆C上一点,且满足
.
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;(2)设O为坐标原点,P是椭圆C上的一个动点,试求
的取值范围.
解:(1)在△MF1F2中,MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2
即:(MF1+MF2)2-3MF1•MF2=4c2
即:4a2-3MF1•MF2=4c2,则3MF1•MF2=4a2-4c2
,当且仅当MF1=MF2=a时,取等号
∴4a2-4c2≤3a2,即a2≤4c2
∴
即
(2)令OP=m,则m∈[b,a]
又PF1+PF2=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF12与PF22两式相加可得:PF12+PF22=2m2+2c2
则(PF1-PF2)2=4(m2+c2-a2)
∴
∵m∈[b,a],∴
即
,
∴t的取值范围是
.
分析:(1)在△MF1F2中,根据余弦定理得4a2-3MF1•MF2=4c2,则3MF1•MF2=4a2-4c2结合基本不等式即可求得,当且仅当MF1=MF2=a时,a2≤4c2从而求椭圆的离心率e的取值范围.
(2)令OP=m,结合椭圆的定义由余弦定理可得(PF1-PF2)2=4(m2+c2-a2),得到
最后利用放缩法即可求得t的取值范围是.
点评:本小题主要考查椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
即:(MF1+MF2)2-3MF1•MF2=4c2
即:4a2-3MF1•MF2=4c2,则3MF1•MF2=4a2-4c2

∴4a2-4c2≤3a2,即a2≤4c2
∴


(2)令OP=m,则m∈[b,a]
又PF1+PF2=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF12与PF22两式相加可得:PF12+PF22=2m2+2c2
则(PF1-PF2)2=4(m2+c2-a2)
∴

∵m∈[b,a],∴

即

∴t的取值范围是

分析:(1)在△MF1F2中,根据余弦定理得4a2-3MF1•MF2=4c2,则3MF1•MF2=4a2-4c2结合基本不等式即可求得,当且仅当MF1=MF2=a时,a2≤4c2从而求椭圆的离心率e的取值范围.
(2)令OP=m,结合椭圆的定义由余弦定理可得(PF1-PF2)2=4(m2+c2-a2),得到

点评:本小题主要考查椭圆的简单性质、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

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