Question

设点P在曲线y=e^x上，点Q在曲线y=1-

1

x

(x＞0)上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A．

  2

  2

  (e-1)
• B．

  2

  (e-1)
• C．

  2

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y=e^x上的点关于y=x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y=lnx上的点与y=1-

1

x

(x＞0)上的点到直线y=x的距离之和最小问题，而与y=x平行的直线同时与曲线y=lnx和y=1-

1

x

(x＞0)切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y=x距离的2倍．

解答：解：如图，
因为y=e^x的反函数是y=lnx，两个函数的图象关于直线y=x对称，
所以曲线y=e^x上的点P到直线y=x的距离等于在曲线y=lnx上的对称点P^′到直线y=x的距离．
设函数f（x）=lnx-1+

1

x

，
f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当0＜x＜1时，f^′（x）0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）=0，
则当x＞0时，除（1，0）点外函数y=lnx的图象恒在y=1-

1

x

的上方，在（1，0）处两曲线相切．
求曲线y=e^x上的点P与曲线y=1-

1

x

上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y=lnx上的点P^′与Q点
到直线y=x的距离的最小值的和，而函数y=lnx与y=1-

1

x

在x=1时的导数都是1，说明与直线y=x平行的直线
与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y=x距离的2倍，
所以|PQ|的最小值为2×

1

12+12

=

2

．
故选D．

点评：本题考查了两点间的距离，考查了数形结合的解题思想，考查了数学转化思想，解答此题的关键是分析得到函数y=lnx的图象除（1，0）点外恒在y=1-

1

x

的上方，且在（1，0）处两曲线相切．此题属中档题．