题目内容
如图所示的几何体中,四边形为矩形,
为直角梯形,且
=
= 90°,平面
平面
,
,
(1)若为
的中点,求证:
平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小.
(Ⅰ)连结,交
与
,连结
,
中,
分别为两腰
的中点 , 确定
.
得到平面
.
(Ⅱ),
.
解析试题分析:(Ⅰ)证明:连结,交
与
,连结
,
中,
分别为两腰
的中点 , ∴
. 2分
因为面
,又
面
,所以
平面
. 4分
(Ⅱ)解:设平面与
所成锐二面角的大小为
,以
为空间坐标系的原点,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,则
,
.
设平面的单位法向量为
则可设
. 7分
设面的法向量
,应有
即:
解得:,所以
. 10分
,
. 12分
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系,角的计算。
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题利用空间向量简化了证明过程。

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