Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是2：

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|

MP

|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意

a2=b2+c2 a：b=2： 3 c=2.

解得a²=16，b²=12．
所以椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，故-4≤x≤4．
因为

MP

=(x-m，y)，
所以|

MP

|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-

x2

16

)=

1

4

x2-2mx+m2+12=

1

4

(x-4m)2+12-3m2．
因为当|

MP

|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4m时，|

MP

|2取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，即-4≤m≤4．
故实数m的取值范围是m∈[1，4]．