Question

对于任意的实数a，不等式|a+1|+|a-1|≥M恒成立，记实数M的最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|2x-3|≤m．

Answer 1

分析：（1）由绝对值不等式|a+1|+|a-1|≥|（a+1）-（a-1）|=2，得到其最小值为2，故只需2≥M，从而求得m的值．
（2）不等式即|x-1|+|2x-3|≤2，分x≤1，1＜x＜

3

2

，x≥

3

2

三种情况分别去掉绝对值求出不等式的解集，再把所得到的解集取并集即得所求．

解答：解：（1）由绝对值不等式，有|a+1|+|a-1|≥|（a+1）-（a-1）|=2，
那么对于|a+1|+|a-1|≥M，只需|a+1|+|a-1|_min≥M，即M≤2，则m=2．
（2）不等式即|x-1|+|2x-3|≤2，
当x≤1时：1-x-2x+3≤2，即x≥

2

3

，则

2

3

≤x≤1，
当1＜x＜

3

2

时：x-1-2x+3≤2，即x≥0，则1＜x＜

3

2

，
当x≥

3

2

时：x-1+2x-3≤2，即x≤3，则

3

2

≤x≤3，
那么不等式的解集为[

2

3

，1]∪（1，

3

2

 ）∪[

3

2

，3]=[

2

3

，3]．

点评：本题考查查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，求出m值，是解题的关键．