题目内容

甲、乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个
黑球和3个红球，从甲乙两盒中各任取一球交换．
（1）求交换后甲盒中恰有2个黑球的概率；
（2）（文）设交换后甲盒中的黑球数没有减少的概率．
（3）（理）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

解：（1）甲乙两盒各取一个球交换后，甲盒中恰有2个黑球有下面几种情况：
①取出的两个球都是黑球，则甲盒恰好有2个黑球的事件记为A₁，则 $\text{[math]}$ …（3分）
②取出的两个球都是红球，则此时甲盒中恰有2个黑球的事件记为A₂，则 $\text{[math]}$ …（6分）
故P₁=P（A₁）+P（A₂）= $\text{[math]}$ …（8分）
（2）（文）设从甲盒中取出红球，乙盒中取出黑球交换为事件A₃，
则 $\text{[math]}$ …（10分）
所以概率为P₂=P₁+P（A₃）= $\text{[math]}$ ．…（12分）
（3）（理）则ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

根据表格，可得ξ的数学期望为 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）事件“交换后甲盒中恰有2个黑球”可以分解为①取出的两个球都是黑球；②取出的两个球都是红球，因此按这两种情况分类讨论分别求出相应的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（2）事件“交换后甲盒中的黑球数没有减少”包含两种情况，一种是（1）中第一条的事件，另一种是“从甲盒中取出红球，乙盒中取出黑球交换”，用随机事件概率的公式求出后一事件的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（3）根据（1）和（2）的概率计算结果，不难列出随机变量ξ的分布列的表格，再利用离散型随机变量数学期望的公式，可以求出ξ的数学期望．
点评：本题着重考查了等可能事件的概率、离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中事件分解的思路和公式的正确使用．