Question

已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．
（1）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=lg

t

x2+1

∈M，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在定义域内，由f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1），知

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，由此能推导出f(x)=

1

x

∉M．
（2）由函数f(x)=lg

t

x2+1

∈M，知lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，所以（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，由此能求出t的范围．

解答：解：（1）在定义域内，
∵f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1）
∴

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，
∵方程x²+x+1=0无实数解，
∴f(x)=

1

x

∉M．（6分）
（2）∵函数f(x)=lg

t

x2+1

∈M，
∴lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，
∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，
t=2时，x=-

1

2

；
t≠2时，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，
得t2-6t+4≤0⇒t∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
∴t∈[3-

5

，3+

5

]．（12分）

点评：本题考查函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质的灵活运用．