Question

已知函数f(x)＝k[(log_ax)²＋(log_xa)²]－(log_ax)³－(log_xa)³，(其中a＞1)，g(x)＝x²－2bx＋4，设t＝log_ax＋log_xa．

(Ⅰ)当x∈(1，a)∪(a，＋∞)时，将f(x)表示成t的函数h(t)，并探究函数h(t)是否有极值；

(Ⅱ)当k＝4时，若对x₁∈(1，＋∞)，x₂∈[1，2]，使f(x₁)≤g(x₂)，试求实数b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵， 　　， 　　∴ 　　∴ 　　设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解， 　　欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得 　　综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值 　　(Ⅱ)∵对任意的，存在，使等价于 　　时，f(x)max 　　又k＝4时，h(t)＝－t3＋4t2＋3t－8(t， 　　 　　∴h(t)max＝h(3)＝10， 　　 　　∴ 　　∴