Question

某地区的农产品A第z天（1≤x≤20）的销售价格p=40-|x一6|（元/千克），一农户在第x天（1≤x≤20）农产品A的销售量q=30+|x一8|（千克）．
（1）求该农户在第7天销售农产品的收入；
（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？最大收入为多少？

Answer 1

分析：（1）第7天的销售价格p=40-|x-6|=40-|7-6|=39，销售量q=30+|x-8|=30+|7-8|=31，从而可得第7天的销售收入；
（2）若设第x天的销售收入为W_x，则Wx=pq=（40-|x-6|）（30+|x-8|），去掉绝对值后是分段函数，求得函数W_x的每一段的最大值，并通过比较得出，第几天该农户的销售收入最大．

解答：解：（1）由已知第7天的销售价格p=40-|x-6|=40-|7-6|=39，销售量q=30+|x-8|=30+|7-8|=31．
∴第7天的销售收入W₇=pq=39×31=1209（元）．
（2）设第x天的销售收入为W_x，则W_x=

(34+x)(38-x)，1≤x≤6 1209，x=7 (46-x)(22+x)，8≤x≤20

当1≤x≤6时，Wx=（34+x）（38-x）≤[

(34+x)+(38-x)

2

]²=1296（当且仅当x=2时取等号），∴当x=2时有最大值W₂=1296；
当8≤x≤20时，W_x=（46-x）（22+x）≤[

(46-x)+(22+x)

2

]²=1156（当且仅当x=12时取等号），∴当x=12时有最大值W₁₂=1936；
由于W₂＞W₇＞W₁₂，所以，第2天该农户的销售收入最大．

点评：本题考查了含有绝对值的函数模型的应用；含有绝对值的函数，通常转化为分段函数来解答，本题是中档题目．