题目内容

8.已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,若A、B、C、D、E在同一球面上,则此球的体积为(  )
A.B.$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$πC.$\sqrt{2}$πD.$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π

分析 找出二面角的平面角,设球的半径为R,则R2=($\frac{\sqrt{2}}{2}$-R)2+($\frac{\sqrt{2}}{2}$)2,求出R,即可求出球的体积.

解答 解:作CO⊥面ABDE,OH⊥AB,则CH⊥AB,∠CHO为二面角C-AB-D的平面角,
CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,OH=$\frac{1}{2}$,CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,
设球的半径为R,则R2=($\frac{\sqrt{2}}{2}$-R)2+($\frac{\sqrt{2}}{2}$)2
∴R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴V=$\frac{4}{3}π•(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}π$.
故选:D.

点评 本小题主要考查球的体积,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

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