题目内容
(10)已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a=1)的图象关于直线y=x对称,
记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间[,2]上是增函数,则实数a的取值范围是
(A)[2,+∞) (B)(0,1)∪(1,2) (C)[,1) (D)(0,
]
D
法一.解析:由已知得f(x)=logax
∴g(x)=log2ax+(loga2-1)logax
令t=logax
(ⅰ)0<a<1时,t=logax在[,2]上单调减
且t∈[loga2,-loga2]
∵g(x)在[,2]上是增函数.
∴h(t)=t2+(log
又h(t)的对称轴为t=
∴≥-loga2
∴loga2≥-1
∴0<a≤
(ⅱ)当a>1时.t=logax在[]上递增.
且t∈[-loga2,-loga2]
∵g(x)在[]上递增.
∴h(t)=t2+(loga2-1)t在[-loga2,-loga2]上单调增.
又h (t)的对称轴为(1-loga2)
∴-loga2≥(1-loga2)
loga2≤-1
∴2≤ a≤
(与a>1矛盾,舍去).
法二.
解析:∵g(x)在[,2]递增.
∴必有g(2)≥g()
在A、B、C三选项中对a取特殊值.验证.均存在使g(2)≥g()不成立的值,故A、B、C被排除.
∴选D.

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