题目内容

(10)已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a=1)的图象关于直线y=x对称,

记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间[,2]上是增函数,则实数a的取值范围是

 (A)[2,+∞)       (B)(0,1)∪(1,2)       (C)[,1)           (D)(0,]

D

法一.解析:由已知得f(x)=logax

∴g(x)=log2ax+(loga2-1)logax

 

令t=logax

 

(ⅰ)0<a<1时,t=logax在[,2]上单调减

且t∈[loga2,-loga2

∵g(x)在[,2]上是增函数.

∴h(t)=t2+(log2a-1)t在[loga2,-loga2]上单减

 

又h(t)的对称轴为t=

≥-loga2

 

∴loga2≥-1

∴0<a≤

 

(ⅱ)当a>1时.t=logax在[]上递增.

且t∈[-loga2,-loga2

 

∵g(x)在[]上递增.

 

∴h(t)=t2+(loga2-1)t在[-loga2,-loga2]上单调增.

 

又h (t)的对称轴为(1-loga2)

∴-loga2(1-loga2)

loga2≤-1

 

∴2≤     a≤(与a>1矛盾,舍去).

法二.

解析:∵g(x)在[,2]递增.

∴必有g(2)≥g()

在A、B、C三选项中对a取特殊值.验证.均存在使g(2)≥g()不成立的值,故A、B、C被排除.

∴选D.

 


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