Question

设（ax+2b）⁹与（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数相等（a＞0，b≠0）
（1）求的取值范围；
（2）当展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

解：（ax+2b）⁹展开式中x³项的系数为：．
（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数为：．
则：84×2⁴a³b⁶=56×2⁵a⁵b³，即．
（1）==≥2，当且仅当a=3时取等号．
∴的取值范围[2，+∞）．
（2）时，b=1，（bx+2a）⁸展开式中二项式系数最大的项是第五项，
即：T₅==70×2⁴a⁴b⁴x⁴=10080x⁴．
分析：利用（ax+2b）⁹与（bx+2a）⁸展开式中x³项的系数相等，求出b与a的关系，
（1）通过基本不等式求出表达式的范围即可．
（2）通过a求出b，利用二项展开式的通项公式求出展开式最大项即可．
点评：本题考查二项式定理系数的形状，二项式定理的应用，考查计算能力．