Question

如图，在棱长为l的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁中点．
（1）求点M到面A₁BD距离的大小；
（2）求四面体A₁-BDM的体积．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点O，连接A₁O，MO后，我们根据等腰三角形的性质、勾股定理及线面垂直的判定定理，得到MO的长即为点M到面A₁BD距离．
（2）根据（1）的结论，将（1）中所求出各相关线段的长代入三棱锥的体积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）已知如图所示：
取BD的中点O，连接A₁O，MO
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M为CC₁中点
则易得：A₁O=

6

2

，MO=

3

2

，A₁M=

3

2

由勾股定理得：∠A₁OM为直角
则M到面A₁BD距离的大小为

3

2

（6分）
（2）由（1）可知A₁O⊥面BDM，
从而四面体A₁-BDM体积
V=

1

3

•S△BDM•A1O=

1

3

(

1

2

•

2

•

3

2

)•

6

2

=

1

4

（12分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，及空间点、线、面之间的距离运算，其中作辅助线后根据等腰三角形的性质、勾股定理及线面垂直的判定定理，得到∠A₁OM为直角，是解答本题的关键．