题目内容

(2011•广安二模)已知f(x)是 R 上的偶函数,f(x+2)=-f(x),f(2)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)等于(  )
分析:由f(x+2)=-f(x),可得函数的周期,然后利用周期性和奇偶性进行求值.
解答:解:由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x),所以函数的周期是4.
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)-f(2012)=503×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(2012)
∵f(x)是 R 上的偶函数,f(2)=-2,
∴f(0)=f(4)=-f(2)=2,
当x=-1时,f(-1+2)=f(1)=-f(-1)=-f(1),
∴f(1)=0,即f(1)=f(1-4)=f(-3)=f(3)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
即f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=0-f(2012)=-f(0)=-2.
故选C.
点评:本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用,利用条件求出函数的周期是解决本题的关键.
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