题目内容

对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a），（其中a为正常数）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动点T（m，0）（m＞a），直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A₁、B₁，当m变化时，记所有直线A₁B₁组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．

解：（1）当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y²=2Px，
∵ $\text{[math]}$ ∴P=2a
∴y²=4ax
当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x²=2py
∵ $\text{[math]}$ ∴方程无解，抛物线不存在
∴抛物线C的方程y²=4ax
（2）设A₁（as²，2as）、B₁（at²，2at） T（m，0）（m＞a）
∵k_TA=k_TA1∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴as²+（m-a）s-m=0
∵（as+m）（s-1）=0∴S=- $\text{[math]}$
∴A₁（ $\text{[math]}$ ，-2m）
∵k_TB=k_TB1∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵2at²+（m-4a）t-2m=0∴（2at+m）（t-2）=0
∴t=- $\text{[math]}$ ∴B₁（ $\text{[math]}$ ，-m）
∴l_A1B1的直线方程为y+2m= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）
∵直线的斜率为f（m）=- $\text{[math]}$ 在m∈（a，+∞）单调
∴所以集合M中的直线必定相交，
∵直线的横截距为- $\text{[math]}$ ≠0，纵截距为- $\text{[math]}$ ≠0
∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．
分析：（1）由于两点在第一象限内，故抛物线开口向右或向上，由此分两种情况利用待定系数法求得抛物线的标准方程；
（2）先将点A₁、B₁的坐标用a、m表示，再利用点斜式写出直线A₁B₁的方程，证明其斜率随m的变化而单调变化，即可证明集合M中的任意两条直线都相交，证明直线的截距不为零即可证明交点都不在坐标轴上．
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，待定系数法求曲线方程，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线相交的意义等知识，属中档题