Question

已知命题p：一元二次不等式2mx²+4x+1＞0恒成立；命题q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析：先对两个条件化简，求出各自成立时参数所满足的范围，再根据“p或q”为真，p且q”为假判断出两命题的真假情况，然后求出实数m的取值范围．

解答：解：当p为真时，有不等式2mx²+4x+1＞0恒成立，得m＞0，16-8m＜0，即p：m＞2（4分）
当q为真时，有△=16（m-2）²-16＜0得，1＜m＜3，即q：1＜m＜3．（6分）
由题意：“P或Q”真，“P且Q”为假等价于
（1）P真Q假：得

m＞2 m≤1或m≥3

，即m≥3（8分）
（2）Q真P假：得

m≤2 1＜m＜3

，即1＜m≤2（11分）
综合（1）（2）m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}　（12分）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是对两个命题时行化简，以及正确理解“p或q”为真，p且q”为假的意义．本题易因为对此关系判断不准出错．