Question

已知

.

a

=（5

3

cosx，cosx），

.

b

=（sinx，2cosx）其中x∈[

π

6

，

π

2

]，设函数f（x）=

.

a

•

.

b

+|

.

b

|²+

3

2

（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）=8，求函数f（x-

π

12

）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中

.

a

=（5

3

cosx，cosx），

.

b

=（sinx，2cosx）设函数f（x）=

.

a

•

.

b

+|

.

b

|²+

3

2

，根据平面向量的数量积公式，我们易求出函数f（x）的解析式，进而根据二倍角公式和辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质及其中x∈[

π

6

，

π

2

]，求出函数f（x）的值域；
（2）根据（1）中函数的解析式，及f（x）=8 我们可以求出2x+

π

6

的正弦值，进而根据2x+

π

6

的范围求出其余弦值，进而根据f（x-

π

12

）=5sin2x+5=5sin（2x+

π

6

-

π

6

）+5结合两角差的正弦公式得到答案．

解答：解：（1）∵

.

a

=（5

3

cosx，cosx），

.

b

=（sinx，2cosx）
函数f（x）=

.

a

•

.

b

+|

.

b

|²+

3

2

=5

3

cosx•sinx+2cosx•cosx+sin²x+4cos²x+

3

2

…（2分）
=5

3

cosx•sinx+5cos²x+

5

2

=

5 3

2

sin2x+

5

2

cos2x+5
=5sin（2x+

π

6

）+5                              …（5分）
由∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1…（7分）
即x∈[

π

6

，

π

2

]时，函数f（x）的值域为[

5

2

，10]…（8分）
（2）∵f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5=8
则sin（2x+

π

6

）=

3

5

，…（9分）
又∵

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴cos（2x+

π

6

）=-

4

5

  …（11分）
∴f（x-

π

12

）=5sin2x+5
=5sin（2x+

π

6

-

π

6

）+5
=5[sin（2x+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x+

π

6

）sin

π

6

]+5
=5（

3

5

•

3

2

+

4

5

•

1

2

）+5
=

3 3

2

+7 …（14分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数的图象和性质，二倍角公式，辅助角公式，是平面向量和三角函数比较综合的应用，其中根据平面向量的数量积公式、二倍角公式和辅助角公式，求出函数f（x）的解析式是解答本题的关键．