题目内容
已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量
=(1，k)(k≠0)的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有|
|=|
|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量
| a |
| AM |
| AN |
分析：（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用P（x，2y）点在圆上，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式得S△OAB=
|OA||xB|=
|xB|，欲求面积的最大值，只须考虑|xB|的最大值即可．由此求出直线l的方程；
（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（2）根据三角形的面积公式得S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上
所以x2+4y2=4，即
+y2=1
（2）S△OAB=
|OA||xB|=
|xB|
而|xB|≤2，故当xB=±2时，△OAB面积的最大值为1
此时，直线l的方程为：x-2y+2=0或x+2y-2=0
（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，
M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）
于是
⇒（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
△=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）＞0
4k2-m2+1＞0…①
而x1+x2=-
故x0=-
从而y0=
|
|=|
|?AQ⊥l
而kAQ=
=
故kAQ•k=-1
可得：3m=-4k2-1…②
由①②得：-3＜m＜0
故k∈(-
，0)∪(0，
)
所以x2+4y2=4，即
| x2 |
| 4 |
（2）S△OAB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
而|xB|≤2，故当xB=±2时，△OAB面积的最大值为1
此时，直线l的方程为：x-2y+2=0或x+2y-2=0
（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，
M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x0，y0）
于是
|
△=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）＞0
4k2-m2+1＞0…①
而x1+x2=-
| 8km |
| 1+4k2 |
故x0=-
| 4km |
| 1+4k2 |
从而y0=
| m |
| 1+4k2 |
|
| AM |
| AN |
而kAQ=
| ||
-
|
| 4k2-m+1 |
| 4km |
故kAQ•k=-1
可得：3m=-4k2-1…②
由①②得：-3＜m＜0
故k∈(-
| 2 |
| 2 |
点评：考查轨迹的求法和向量在几何中的应用，直线与圆锥曲线相交弦的中点问题，解题方法一般联立，消元，利用韦达定理，体现了方程的思想和转化的思想方法，属中档题．
练习册系列答案
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？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
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