题目内容
在直三棱柱中,
,
,异面直线
与
所成的角等于
,设
.
(1)求的值;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的大小.
(1); (2)
.
【解析】
试题分析:由于是直三棱柱,且底面是直角三角形,便于建立空间直角坐标系.
建立适当的空间直角坐标系,利用向量的夹角公式列方程,求出的值.
在(1)的基础上,确定的坐标,设出平面
的法向量
与平面
的法向量
,
根据向量垂直的条件求出法向量,最后用向量的夹角公式求出,这就是所求锐二面角的余弦值.
试题解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则,
,
,
(
) 1分
∴,
∴
3分
∵异面直线与
所成的角
∴ 即
5分
又,所以
6分
(2)设平面的一个法向量为
,则
,
,即
且
又,
∴,不妨取
8分
同理得平面的一个法向量
10分
设与
的夹角为
,则
12分
∴ 13分
∴平面与平面
所成的锐二面角的大小为
14分
考点:1、空间直角坐标系;2、空间向量夹角公式的应用.

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