Question

已知P、Q是抛物线C：y=x²上两动点，直线l₁、l₂分别是抛物线C在点P、Q处的切线，且l₁⊥l₂，l₁∩l₂=M．
（1）求点M的纵坐标；
（2）直线PQ是否经过一定点？试证之；
（3）求△PQM的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，点M是两切线的交点，故可以求出两条切线的方程，解出两切线交点的坐标即点M的坐标，再由两切线垂直，其斜率的乘积为-1，求出点M的纵坐标；
（2）由点斜式写出过两点的直线的方程，易得其过定点（0，

1

4

）；
（3）由题意，可由两点间距离公式求出线段PQ的参数表达式，再由点到直线的距离公式求出点M到直线PQ的参数表达式，由面积公式建立面积关于参数的函数，求出函数的最值，即可得到面积的最值．

解答：解：（1）设P（x₁，x₁²），Q（x₂，x₂²），（x₁≠x₂），又y'=2x，则：

l1：y=2x1(x-x1)+x12 l2：y=2x2(x-x2)+x22

⇒M(

x1+x2

2

，x1•x2）
又l₁⊥l₂，则4x₁•x₂=-1⇒x₁•x₂=-

1

4

，∴y_M=-

1

4

…．（4分）
（2）PQ：y-x₁²=

x12-x22

x1-x2

(x-x1)，即y=(x1+x2)•x+

1

4

∴PQ恒过定点（0，

1

4

）…（8分）
（3）令x₁+x₂=k，则M（

k

2

，-

1

4

），PQ：y=kx+

1

4

∴M到PQ的距离d=

| k2 2 + 1 4 + 1 4 |

k2+1

=

1

2

k2+1

又|PQ|=

(x1-x2)2+(x12-x22)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=

(x1-x2)2(1+k2)

=

[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)

=1+k2
∴S_△PQM=

1

2

|PQ|•d=

1

4

(k2+1)

3

2

≥

1

4

（此时k=0）…..（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查了切线的求法，恒过定点的问题，求面积的最值等，解题的关键是理解题意，由圆锥曲线中的相关计算根据题设中的等量关系建立方程或函数关系，本题考查了推理判断的能力，符号计算的能力，是综合性较强的题