题目内容

(2012•安徽)设函数f(x)=
x2
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.
(Ⅰ)求数列{xn}.
(Ⅱ)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn
分析:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)>0,确定函数的单调增区间;令f′(x)<0,确定函数的单调减区间,从而可得f(x)的极小值点,由此可得数列{xn};
(Ⅱ)Sn=x1+x2+…+xn=2π(1+2+…+n)-
2nπ
3
=n(n+1)π-
2nπ
3
,再分类讨论,求sinSn
解答:解:(Ⅰ)求导函数可得f′(x)=
1
2
+cosx
,令f′(x)=0,可得x=2kπ±
2
3
π(k∈Z)

令f′(x)>0,可得2kπ-
2
3
π<x<2kπ+
2
3
π(k∈Z)

令f′(x)<0,可得2kπ+
2
3
π<x<2kπ+
4
3
π(k∈Z)

x=2kπ-
2
3
π(k∈Z)
时,f(x)取得极小值
∴xn=x=2nπ-
2
3
π(n∈N+)

(Ⅱ)Sn=x1+x2+…+xn=2π(1+2+…+n)-
2nπ
3
=n(n+1)π-
2nπ
3

∴当n=3k(k∈N*)时,sinSn=sin(-2kπ)=0;
当n=3k-1(k∈N*)时,sinSn=sin
3
=
3
2

当n=3k-2(k∈N*)时,sinSn=sin
3
=-
3
2
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查函数与数列之间的综合,属于中档题.
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