题目内容
(2012•安徽)设函数f(x)=
+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}.
(Ⅰ)求数列{xn}.
(Ⅱ)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn.
x | 2 |
(Ⅰ)求数列{xn}.
(Ⅱ)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn.
分析:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)>0,确定函数的单调增区间;令f′(x)<0,确定函数的单调减区间,从而可得f(x)的极小值点,由此可得数列{xn};
(Ⅱ)Sn=x1+x2+…+xn=2π(1+2+…+n)-
=n(n+1)π-
,再分类讨论,求sinSn.
(Ⅱ)Sn=x1+x2+…+xn=2π(1+2+…+n)-
2nπ |
3 |
2nπ |
3 |
解答:解:(Ⅰ)求导函数可得f′(x)=
+cosx,令f′(x)=0,可得x=2kπ±
π(k∈Z)
令f′(x)>0,可得2kπ-
π<x<2kπ+
π(k∈Z);
令f′(x)<0,可得2kπ+
π<x<2kπ+
π(k∈Z)
∴x=2kπ-
π(k∈Z)时,f(x)取得极小值
∴xn=x=2nπ-
π(n∈N+)
(Ⅱ)Sn=x1+x2+…+xn=2π(1+2+…+n)-
=n(n+1)π-
∴当n=3k(k∈N*)时,sinSn=sin(-2kπ)=0;
当n=3k-1(k∈N*)时,sinSn=sin
=
;
当n=3k-2(k∈N*)时,sinSn=sin
=-
.
1 |
2 |
2 |
3 |
令f′(x)>0,可得2kπ-
2 |
3 |
2 |
3 |
令f′(x)<0,可得2kπ+
2 |
3 |
4 |
3 |
∴x=2kπ-
2 |
3 |
∴xn=x=2nπ-
2 |
3 |
(Ⅱ)Sn=x1+x2+…+xn=2π(1+2+…+n)-
2nπ |
3 |
2nπ |
3 |
∴当n=3k(k∈N*)时,sinSn=sin(-2kπ)=0;
当n=3k-1(k∈N*)时,sinSn=sin
2π |
3 |
| ||
2 |
当n=3k-2(k∈N*)时,sinSn=sin
4π |
3 |
| ||
2 |
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查函数与数列之间的综合,属于中档题.
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