题目内容

已知
a
=（sinx+2cosx，3cosx），
b
=（sinx，cosx），且f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
分析：（1）通过f（x）与a，b的关系得到关于x的三角函数．并根据三角函数的图象和性质得到最值．
（2）根据（1）得到的三角函数，由图象和性质判断出单调区间，然后根据[0，π]的范围得出结果
解答：解：（1）因为
a
=（sinx+2cosx，3cosx），
b
=（sinx，cosx），
所以，f（x）=（sinx+2cosx）sinx+3cosx•cosx
=1+sin2x+1+cos2x
=
2
sin(2x+
π
4
)+2，
所以，当2x+
π
4
=
π
2
+2kπ，k∈Z，即x=
π
8
+kπ，k∈Z时，
f（x）取得最大值
2
+2；
（2）由（1）由知f（x）的最小正周期是π，
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈Z，
所以f（x）在[0，π]上的递增区间为[0，
π
8
]和[
5π
8
，π]
∴f（x）的最大值为
2
+2；f（x）在[0，π]上的递增区间为[0，
π
8
]和[
5π
8
，π]．
点评：本题考查的是三角函数的运算以及求单调区间和最值问题的方法．属于中档题
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的减区间；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
已知
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cos（x+
π
3
），1）函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最值和单调递减区间；
（2）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=0，a=
3
，求△ABC的面积的最大值．
已知
a
=（sinx，cosx+1），
b
=（cosx，cosx-1），f（x）=
a
•
b
（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）若x∈[-
π
6
，
π
2
]，求函数f（x）的最值及相应的x的值．
（2013•成都一模）已知
a
=(cosx+sinx， sinx)， 
b
=(cosx-sinx， 2cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

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