Question

数列满足，（），是常数．（Ⅰ）当时，求及的值；（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．

Answer 1

(Ⅰ) ，   (Ⅱ) 见解析  （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由于，且．

所以当时，得，故．从而．

（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，

得，，．

若存在，使为等差数列，则，即，

解得．于是，．

这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即

且，这时总存在，满足：当时，；

当时，．所以由及可知，若为偶数，

则，从而当时，；若为奇数，则，

从而当时．因此“存在，当时总有”

的充分必要条件是：为偶数，记，则满足．

故的取值范围是