题目内容
如图，正三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度均为2．
、
分别是
、
的中点，
是
的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于
、
、
，已知
．
（1）求证：
⊥面
；
（2）求二面角
的大小．
（1）同解析（2）二面角
为
。
解析:
（1）证明：依题设，
是
的中位线，所以∥
，
则∥平面
，所以∥
。
又
是的中点，所以
⊥，
则⊥。
因为
⊥
，⊥
，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面
。
（2）作
⊥
于
，连
。
因为
⊥平面
，
根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作
⊥
于
，则∥，则是的中点，则
。
设
，由
得，
，解得
，
在
中，
，则，
。
所以
，故二面角为。
解法二：（1）以直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
所以
所以
所以
平面
由∥得∥，故：
平面
(2)由已知
设
则
由
与
共线得:存在
有
得
同理:
设
是平面
的一个法向量,
则
令
得
又
是平面的一个法量
所以二面角的大小为
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度均为2．
、
分别是
、
的中点，
是
的中点，过
、
、
，已知
。
⊥平面
；
的大小。
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度均为2．
、
分别是
、
的中点，
是
的中点，过
、
、
，已知
．
⊥面
；
的大小．
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度均为2．
、
分别是
、
的中点，
是
的中点，过
、
、
，已知
。
⊥平面
；
的大小。
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且长度均为2．
、
分别是
、
的中点，
是
的中点，过
、
、
，已知
．
⊥面
；
的大小．