题目内容
过点A（2，1）作曲线f（x）=x3-x的切线的条数最多是（ ）
分析：设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．
解答：解：设设切点为P（x0，x03-x0），
则f′(x0)=3x02-1，
则切线方程y-x03+x0=(3x02-1)(x-x0)，
代入A（2，1）得，2x03-6x02+3=0．
令y=2x03-6x02+3，则y′=6x02-12x0．
由y′=0，得x0=0或x0=2，
且当x0=0时，y=3＞0，x0=2时，y=-5＜0．
所以方程2x03-6x02+3=0有3个解，
则过点A（2，1）作曲线f（x）=x3-x的切线的条数是3条．
故选A．
则f′(x0)=3x02-1，
则切线方程y-x03+x0=(3x02-1)(x-x0)，
代入A（2，1）得，2x03-6x02+3=0．
令y=2x03-6x02+3，则y′=6x02-12x0．
由y′=0，得x0=0或x0=2，
且当x0=0时，y=3＞0，x0=2时，y=-5＜0．
所以方程2x03-6x02+3=0有3个解，
则过点A（2，1）作曲线f（x）=x3-x的切线的条数是3条．
故选A．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，是中档题．
练习册系列答案
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的切线l．
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