题目内容

（理）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为 $数学公式$ ，乌克兰队赢的概率为 $数学公式$ ，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
（文）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为 $数学公式$ ，乌克兰队赢的概率为 $数学公式$ ，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．求比赛进行三局就结束比赛的概率．

解：（理）（1）因为中国队赢的概率 $\text{[math]}$ 即为乌克兰队输的概率，同理，乌克兰队赢的概率 $\text{[math]}$ 即为中国队输的概率，两队和棋的概率为 $\text{[math]}$ ，又每局比赛输赢互不影响，
而比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，
所以进行3场比赛得4分的所有可能为：①3场比赛中国队赢2场，输1场；②3场比赛中国队赢1场，平两场；利用独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式可得： $\text{[math]}$ ；
（2）由题意设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，则由题意得随机变量ξ可能取2，3，4，
$\text{[math]}$ ．
（文）（1）因为中国队赢的概率 $\text{[math]}$ 即为乌克兰队输的概率，同理，乌克兰队赢的概率 $\text{[math]}$ 即为中国队输的概率，两队和棋的概率为 $\text{[math]}$ ，又每局比赛输赢互不影响，而比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，
所以进行3场比赛得4分的所有可能为：①3场比赛中国队赢2场，输1场；②3场比赛中国队赢1场，平两场；利用独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式可得： $\text{[math]}$ ；
（2）由题意，由于规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．
则比赛进行三局就结束比赛的概率为 $\text{[math]}$ ．
分析：（理）（1）由题意由于中国队赢的概率 $\text{[math]}$ ，即为乌克兰队输的概率，同理乌克兰队赢的概率 $\text{[math]}$ 即为中国队输的概率，和棋的概率为 $\text{[math]}$ ，又每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n所以S₃=4及进行3场比赛得分和为4，又比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，所以进行3场比赛得4分的所有可能为：①3场比赛中国队赢2场，输1场；②3场比赛中国队赢1场，平两场；利用独立事件同时发生的概率公式即可求得；
（2）由于规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行，随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，则随机变量ξ可能取2，3，4，利用独立事件同时发生的概率公式即可列出分布列，并求其期望．
（文）（1）由题意由于中国队赢的概率 $\text{[math]}$ ，即为乌克兰队输的概率，同理乌克兰队赢的概率 $\text{[math]}$ 即为中国队输的概率，和棋的概率为 $\text{[math]}$ ，又每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n所以S₃=4及进行3场比赛得分和为4，又比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，所以进行3场比赛得4分的所有可能为：①3场比赛中国队赢2场，输1场；②3场比赛中国队赢1场，平两场；利用独立事件同时发生的概率公式即可求得；
（2）由于规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行，利用独立事件同时发生的概率公式即可求得则比赛3局就结束比赛的概率．
点评：此题考查了学生对于题意的理解，还考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了随机变量与其期望的定义．