题目内容
设以AB=2a为直径的半圆上有一点P(如图所示),从P向AB引垂线,垂足为Q,求△APQ绕AB旋转一周,所得旋转体体积的最大值.


分析:设出∠PAQ,求出AP,QP,QA,然后得到旋转体体积的表达式,通过同角三角函数的基本关系,利用基本不等式求出体积的最大值即可.
解答:解:设∠PAQ=θ,AB=2a,所以AP=2acosθ,AQ=2acos2θ,QP=2acosθsinθ,
所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P(如图所示),从P向AB引垂线,垂足为Q,
△APQ绕AB旋转一周,所得旋转体体积为:V=
πQP2•AQ=
π•(2asinθcosθ)2•2acos2θ
=
π•a3sin2θcos2θ •cos2θ
≤
(
)3
=
a3.当且仅当sinθ=cosθ,时取等号.
所得旋转体体积的最大值
a3.
所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P(如图所示),从P向AB引垂线,垂足为Q,
△APQ绕AB旋转一周,所得旋转体体积为:V=
1 |
3 |
1 |
3 |
=
8 |
3 |
≤
2a3 |
3 |
2sin2θ+cos2θ+cos2θ |
3 |
=
16 |
81 |
所得旋转体体积的最大值
16 |
81 |
点评:本题是中档题,考查旋转体的体积的表达式,函数最大值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.

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