Question

已知（1-ax）ⁿ展开式的第r，r+1，r+2三项的二次式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的中间项；
（2）求（1-ax）ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用展开式的第r，r+1，r+2三项的二项式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中间项．
（2）利用二项式系数的性质，直接求出展开式的系数的最大项即可．

解答：解：（1-ax）ⁿ展开式的第r，r+1，r+2三项的二项式系数构成等差数列，

C

r-1 n

+

C

r+1 n

=2

C

r n

，…①；
第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，

C

n-r n

(-a)n-r+ 

C

n-r+1 n

(-a)n-r+1=0…②；
而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．即

C

r+1 n+1

：

C

r n+1

=2，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得1+

(n-r)(n-r+1)

(r+1)r

=

2(n-r+1)

r

…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）⁸展开式的中间项为

C

4 8

(-3x)4=5670x⁴；
（2）求（1-3x）⁷的展开式中系数最大的项在奇数项中，分别是第一项

C

0 7

=1；第三项

C

2 7

(-3x)2=189x²，
第五项

C

4 7

(-3x)4=35×3⁴x⁴=2835x⁴，第七项

C

6 7

(-3x)6=63×3⁴x⁶=5103x⁶．
（1-ax）ⁿ的展开式中系数最大项是第七项

C

6 7

(-3x)6=5103x⁶．

点评：本题是中档题，考查二项式定理系数的性质，考查组合数的求法，考查计算能力．