Question

若方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4；
 ②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆；        
④若1＜t＜

5

2

，曲线C为椭圆，且焦点坐标为(±

5-2t

，0)；
⑤若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为

1-t

．
其中真命题的序号为

②④⑤

．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

Answer 1

分析：①若C为椭圆，则

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，故1＜t＜4且t≠

5

2

；
②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，故t＞4或t＜1；
③t=

5

2

时，曲线C是圆，；        
④若1＜t＜

5

2

，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，由此可得焦点坐标；
⑤若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，由此可得虚半轴长为

1-t

．

解答：解：①若C为椭圆，则

4-t＞0 t-1＞0 4-t≠t-1

，∴1＜t＜4且t≠

5

2

，故①不正确；
②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正确；
③t=

5

2

时，曲线C是圆，故③不正确；        
④若1＜t＜

5

2

，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，且焦点坐标为(±

5-2t

，0)，故④正确；
⑤若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，且虚半轴长为

1-t

，故⑤正确．
综上真命题的序号为②④⑤
故答案为：②④⑤

点评：本题考查圆锥曲线，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．