题目内容
【题目】如图,在四棱锥中, , , ,平面底面, ,
和分别是和的中点,求证:
(1)平面;
(2);
(3)平面平面.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由已知得ABCD是平行四边形,从而AD∥BE,又AD平面PAD,BE不在平面PAD内,即可证得BE∥平面PAD;
(2)根据面面垂直的性质可得PA⊥平面ABCD,故而PA⊥BC;
(3)先证CD⊥平面PAD得出CD⊥PD,故而CD⊥EF,再证四边形ABED是矩形得出CD⊥BE,从而CD⊥平面BEF,于是平面BEF⊥平面PCD.
试题解析:
(1)∵AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,
∴四边形ABED为平行四边形,
∴BE∥AD.
又AD平面PAD,BE不在平面PAD内,
∴BE∥平面PAD.
(2)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PA⊥平面ABCD.
∵BC平面ABCD
∴PA⊥BC
(3)在平行四边形ABED中,AB⊥AD,
∴ABED为矩形,
∴BE⊥CD ①.
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PD.
∵E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,
∴CD⊥EF ②.
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.
∵CD平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
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