题目内容

已知函数y=|x|（x-4）
（1）将函数y=|x|（x-4）写出分段函数的形式，并画出图象
（2）利用图象回答：当k为何值时，方程|x|•（x-4）=k有一解？有两解？有三解？
分析：（1）要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当x＜0时和当x≥0时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数y=|x|（x-4）写出分段函数的形式，进而根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可得答案．
（2）根据（1）中函数的图象，结合函数的极大值为0，极小值为-4，可得方程|x|•（x-4）=k有一解，有两解和有三解时，k的取值范围．
解答：解：（1）当x＜0时，y=|x|（x-4）=-x（x-4）
当x≥0时，y=|x|（x-4）=x（x-4）
综上y=
-x(x-4)，x＜0
x(x-4)，x≥0

其函数图象如图所示：
（2）由（1）中函数的图象可得：
当k＜-4或k＞0时，方程|x|•（x-4）=k有一解
当k=-4或k=0时，方程|x|•（x-4）=k有两解
当-4＜k＜0时，方程|x|•（x-4）=k有三解
点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的零点，难度不大，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数y=
x，(x＜1)
2x-1，(1≤x≤10)
3x-11，(x＞10)
，编写一个程序求函数值．
已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=
-
1
ln2
-
1
ln2
．
已知函数y=x+
a
x
（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
b2
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
c
x2
（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
t
x
有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，
t
]上是减函数，在[
t
，+∞）上是增函数．
（1）已知f（x）=
4x2-12x-3
2x+1
，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：若常数a＞0，则该函数在区间(0，
a
]上是减函数，在区间[
a
，+∞)上是增函数；函数y=x2+
b
x2
有如下性质：若常数c＞0，则该函数在区间(0，
4b
]上是减函数，在区间[[
4b
，+∞)上是增函数；则函数y=xn+
c
xn
（常数c＞0，n是正奇数）的单调增区间为
[
2nc
，+∞)
[
2nc
，+∞)
．

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