题目内容

 已知函数.（参考：）

   （1）当且，时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；

（2）若有零点,，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有≥0.

①求的表达式；

②当时，求函数的图象与函数的图象的交点坐标.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）     ………………1分

        由，故

        时     由  得的单调增区间是，

                       由  得单调减区间是

        同理时，的单调增区间，，单调减区间为  …4分

   （2）①由（1）及     （i）

        又由 有知的零点在内，设，

则，结合（i）解得，     …7分

∴    ………………8分

②又设，先求与轴在的交点

∵，  由 得

故，在单调递增

又，故与轴有唯一交点

即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求 …………12分

 

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=
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(m-3x)在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{an}满足an+1=an+ln（p-an）（n∈N*），a1=lnp，求证：an+1≥an．
已知函数f（x）=alnx-x2，x=1是f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[
1
e
，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），求证：
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2
＜x2-x1＜
7
2
．（参考数据：ln2≈0.7  e≈2.7）
（2012•道里区三模）已知函数g（x）=x2-（2a+1）x+alnx
（Ⅰ） 当a=1时，求函数g（x）的极值；
（Ⅱ） 求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ） 在（Ⅰ）的条件下，设f（x）=g（x）+4x-x2-2lnx，证明：
n
k=2
1
k-f(k)
＞
3n2-n-2
n(n+1)
(n≥2)．
参考数据：ln2≈0.6931．
已知函数f（x）=
-x2+x，(x≤1)
lnx，(x＞1)
，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象上的两点且x1＜1，x2＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x2＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x0∈I，g（x）的图象在（x0，g（x0））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，
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）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．
（2012•海淀区二模）已知函数f(x)=aln(x-a)-
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2
x2+x(a＜0)．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x0，且a+1＜x0＜a+2；
（III）当a=-
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时，记函数f（x）的零点为x0，若对任意x1，x2∈[0，x0]且x2-x1=1，都有|f（x2）-f（x1）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，ln
9
4
=0.8，ln
9
5
=0.59）

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