Question

已知的最小正周期为2π．
（I）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（II）求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用两角和与差的正弦将f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）-化简为f（x）=sin（2ωx-），由其最小正周期为2π，可求得ω，从而可求f（x）的表达式；由正弦函数的单调性即可求得
f（x）的单调递增区间；
（II））由-≤x≤-可求得≤x-≤，由正弦函数的单调性即可求得其最大值和最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）-
=+sin2ωx-
=sin2ωx-cos2ωx
=sin（2ωx-）…3′
又f（x）的周期为2π，2π=⇒ω=，…4′
∴f（x）=sin（x-）…5′
由2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）⇒2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），…7′
（2）∵-≤x≤，
∴-≤x-≤，…8′
∴当x-=，即x=时，f（x）_max=1；
当x-=-，即x=-时，f（x）_min=-，…12′
∴当x=时，f（x）_max=1；当x=-时，f（x）_min=-…13
点评：本题考查两角和与差的正弦，考查正弦函数的单调性、周期性与最值，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．