题目内容
已知椭圆
的焦点为
，点
是椭圆
上的一点，
与
轴的交点
恰为的中点，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
为椭圆的右顶点，过焦点
的直线与椭圆交于不同的两点
,求
面积的取值范围.
（1）
（2）
解析试题分析：（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为
,，即点
。法一：将代入椭圆方程，结合
且
，解方程组可得
的值。法二：根据椭圆的定义求点到两焦点的距离的和即为
，再根据关系式求得
。（2）设过点
的直线
的斜率为
,显然
（注意讨论直线斜率存在与否）。当直线的斜率不存在时，直线方程为
，将代入椭圆方程可得的纵坐标，从而可得
，根据椭圆图像的对称性可知
，因此可得
。当直线斜率存在时设直线的方程为
，将直线与椭圆方程联立，消去（或
）得关于的一元二次方程，从而可得根与系数的关系。根据弦长公式求，再用点到线的距离公式求点到直线的距离
，所以
。最后根据基本不等式求其范围即可。
解：（1）因为为的中点，
为
的中点，，
所以
，且
. 1分
所以
.
因为，
所以
. 2分
因为
, 3分
所以
.
所以椭圆的方程为. 4分
（2）设过点的直线的斜率为,显然.
（1）当不存在时，直线的方程为，
所以
.
因为
练习册系列答案
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+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．
=16相交于M，N两点，且|MN|=
|AB|，求椭圆的方程．
的左、右焦点分别为
，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足
三点的圆与直线
相切.
作斜率为k的直线
与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P（m，0），求实数m的取值范围.
经过点P（1.
），离心率e=
，直线l的方程为x=4.
.问：是否存在常数λ，使得
？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
，直线
的方程为
，过右焦点
的直线
与椭圆交于异于左顶点
的
两点，直线
，
交直线
，
．
时，求此时直线
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
.
与椭圆
两点，是否存在实数
，使
成立？若存在，求
的离心率为
，其短轴两端点为
.
的方程；
是椭圆
上关于
轴对称的两个不同点，直线
与
轴分别交于点
.判断以
为直径的圆是否过点
，并说明理由.
，经过椭圆
的右焦点F及上顶点B，过圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于C，D两点，
（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为
．
与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，
恒为定值．