Question

某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数
（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer 1

分析：（1）根据3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．

解答：解：（1）由题意：3-x=

k

t+1

，将t=0，x=1代入得k=2
∴x=3-

2

t+1

当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32(3-

2

t+1

)+3，当销售x（万件）时，年销售收入=150%[32(3-

2

t+1

)+3]+

1

2

t
由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费
即y=

-t2+98t+35

2(t+1)

(t≥0)
（2）y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)≤50-2

16

=42，此时t=7，y_max=42．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题